1/NをN回試行する - SFオタクの日常行動

たまには麻雀(に近い)話にする

パチンコをするとする
Aの台は1/100で当たります、Bの台は1/300で当たります

両方100回転したらどっちが当たりやすい？
→そりゃAだよね

ではAを100回転、Bを300回転したら？
→おんなじだよね
→本当に？

まず、ここでよく言う「当たる」は、
「一回目の当選があるかないか」
を指している

パチンコは当りを拒否できないので、当選後に継続して抽選を受け続けることはできない。なので今考えようとしてるモデルは、ちょっと前のパチスロ(ハードボイルドとか)の
「一定期間内の当選回数は何回ですか？」
みたいな話とは異なる。麻雀で言うと、「和了り牌をツモ切りして最後までめくってみても良いけど、普通はしないよね」みたいな感じですね

前置きが長くなったけど、結局は
「1/NをN回試行したときに、1回目の当選が得られる確率はいかほどか？」
ということですね

ちゃんと計算する前に考えてみる
N=1の時は？
→1回あたりの当選確率1/1、つまり100%当たるんだから1回試行した時も100%

N=2の時は？
→1回あたりの当選確率1/2、なので1回目の試行で50%当選、非当選の場合は2回目の試行で50%当選だから、合わせると1/2+1/2*1/2=3/4つまり75%

N=3の時は？
→1回目で当選するのが1/3、2回目で当選するのが2/3(ハズレ)*1/3(アタリ)、三回目で当選するのが2/3(ハズレ)*2/3(ハズレ)*1/3(アタリ)、計算すると19/27≒70%

~~あれ、これだんだん小さくなるよね、ひょっとして0に近づk~~そうではない

上記の計算って結局、余事象を取れば(1回も当選しない確率を計算して1から引けば)いいわけですね

${ \displaystyle 1-\lim_{n \to \infty}(\frac{n-1}{n})^n }$

引き算してるところが余事象の確率なのがおわかりいただけるだろうか？

さて、ここですこしだけ工夫をする。Nが大きくなると

${ \displaystyle \frac{n-1}{n}=\frac{n}{n+1} }$

と言える。ついでにt=1/nとおいて、上記の式をちょっと変形してみる

${ \displaystyle \ \ \ \ \ 1-\lim_{n \to \infty}(\frac{n-1}{n})^n\\=1-\lim_{n \to \infty}(\frac{n}{n+1})^n\\=1-\frac{1}{\lim_{n \to \infty}(\frac{n+1}{n})^n}\\=1-\frac{1}{\lim_{t \to 0}(1+t)^\frac{1}{t}}\\\\\\\ \ \ \ \color{red}{\lim_{t \to 0}(1+t)^\frac{1}{t}} }$